/*
HFE crypto system with n=35, D=96 (degree of the secret polynomial).

System supplied by Antoine Joux, July 1, 2004.

Magma input (built by Allan Steel).
*/

P<x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,x16,x17,x18,x19,x20,
x21,x22,x23,x24,x25,x26,x27,x28,x29,x30,x31,x32,x33,x34,x35> :=
    PolynomialRing(GF(2), 35, "grevlex");

F1:=x1*x1-x1;
F2:=x2*x2-x2;
F3:=x3*x3-x3;
F4:=x4*x4-x4;
F5:=x5*x5-x5;
F6:=x6*x6-x6;
F7:=x7*x7-x7;
F8:=x8*x8-x8;
F9:=x9*x9-x9;
F10:=x10*x10-x10;
F11:=x11*x11-x11;
F12:=x12*x12-x12;
F13:=x13*x13-x13;
F14:=x14*x14-x14;
F15:=x15*x15-x15;
F16:=x16*x16-x16;
F17:=x17*x17-x17;
F18:=x18*x18-x18;
F19:=x19*x19-x19;
F20:=x20*x20-x20;
F21:=x21*x21-x21;
F22:=x22*x22-x22;
F23:=x23*x23-x23;
F24:=x24*x24-x24;
F25:=x25*x25-x25;
F26:=x26*x26-x26;
F27:=x27*x27-x27;
F28:=x28*x28-x28;
F29:=x29*x29-x29;
F30:=x30*x30-x30;
F31:=x31*x31-x31;
F32:=x32*x32-x32;
F33:=x33*x33-x33;
F34:=x34*x34-x34;
F35:=x35*x35-x35;
P1:=x1+x2+x3+x5+x9+x11+x14+x18+x19+x20+x23+x26+x27+x28+x31+x32+x1*x2+x1*x5+x1*x15+x1*x17+x1*x21+x1*x22+x1*x23+x1*x28+x1*x29+x1*x34+x1*x35+x2*x5+x2*x6+x2*x8+x2*x9+x2*x10+x2*x12+x2*x17+x2*x18+x2*x20+x2*x22+x2*x23+x2*x25+x2*x28+x2*x30+x2*x31+x2*x32+x2*x33+x3*x4+x3*x6+x3*x7+x3*x12+x3*x14+x3*x15+x3*x17+x3*x27+x3*x28+x3*x31+x3*x33+x3*x34+x3*x35+x4*x8+x4*x9+x4*x10+x4*x11+x4*x14+x4*x15+x4*x16+x4*x20+x4*x21+x4*x22+x4*x23+x4*x25+x4*x26+x4*x29+x4*x31+x4*x32+x4*x33+x4*x34+x4*x35+x5*x11+x5*x13+x5*x19+x5*x20+x5*x22+x5*x23+x5*x24+x5*x25+x5*x26+x5*x28+x5*x30+x5*x34+x6*x10+x6*x11+x6*x12+x6*x14+x6*x16+x6*x18+x6*x22+x6*x24+x6*x25+x6*x26+x6*x27+x6*x29+x6*x31+x6*x32+x6*x34+x7*x8+x7*x10+x7*x15+x7*x16+x7*x17+x7*x18+x7*x19+x7*x21+x7*x25+x7*x26+x7*x27+x7*x30+x7*x32+x7*x35+x8*x10+x8*x11+x8*x12+x8*x13+x8*x14+x8*x18+x8*x24+x8*x26+x8*x29+x8*x31+x8*x32+x8*x34+x9*x12+x9*x13+x9*x18+x9*x19+x9*x23+x9*x24+x9*x26+x9*x29+x9*x34+x10*x13+x10*x19+x10*x23+x10*x25+x10*x27+x10*x28+x10*x29+x10*x32+x10*x35+x11*x15+x11*x16+x11*x17+x11*x18+x11*x19+x11*x21+x11*x22+x11*x23+x11*x25+x11*x27+x11*x28+x11*x31+x11*x34+x12*x16+x12*x18+x12*x20+x12*x21+x12*x23+x12*x24+x12*x27+x12*x32+x12*x33+x13*x15+x13*x16+x13*x18+x13*x21+x13*x23+x13*x26+x13*x27+x13*x29+x13*x30+x13*x33+x14*x15+x14*x17+x14*x19+x14*x20+x14*x21+x14*x25+x14*x26+x14*x30+x14*x33+x14*x34+x14*x35+x15*x16+x15*x17+x15*x18+x15*x20+x15*x23+x15*x24+x15*x26+x15*x29+x15*x33+x15*x35+x16*x19+x16*x21+x16*x23+x16*x25+x16*x26+x16*x31+x16*x32+x17*x23+x17*x24+x17*x27+x17*x30+x18*x19+x18*x23+x18*x25+x18*x26+x18*x30+x18*x33+x18*x35+x19*x21+x19*x22+x19*x24+x19*x25+x19*x28+x19*x29+x19*x33+x19*x34+x19*x35+x20*x22+x20*x23+x20*x27+x20*x28+x20*x30+x20*x32+x21*x24+x21*x26+x21*x27+x21*x28+x21*x30+x21*x31+x21*x33+x21*x35+x22*x23+x22*x25+x22*x26+x22*x27+x22*x29+x22*x31+x22*x32+x22*x33+x23*x24+x23*x25+x23*x27+x23*x28+x23*x29+x23*x31+x23*x34+x23*x35+x24*x27+x24*x33+x24*x35+x25*x30+x25*x31+x25*x32+x25*x33+x25*x34+x25*x35+x26*x27+x26*x28+x26*x29+x26*x31+x26*x33+x26*x34+x27*x28+x27*x29+x27*x30+x27*x35+x28*x32+x28*x33+x28*x35+x29*x30+x30*x31+x30*x32+x30*x34+x30*x35+x31*x32+x31*x33+x31*x34+x31*x35+x32*x35+x33*x34+x33*x35+x34*x35;
P2:=1+x4+x9+x12+x14+x15+x16+x20+x21+x22+x23+x24+x26+x27+x29+x32+x35+x1*x2+x1*x3+x1*x4+x1*x5+x1*x6+x1*x7+x1*x8+x1*x13+x1*x19+x1*x20+x1*x21+x1*x25+x1*x30+x1*x31+x1*x32+x1*x33+x1*x34+x2*x3+x2*x4+x2*x6+x2*x8+x2*x11+x2*x12+x2*x15+x2*x17+x2*x18+x2*x19+x2*x21+x2*x23+x2*x25+x2*x26+x2*x29+x2*x30+x2*x33+x3*x4+x3*x5+x3*x7+x3*x8+x3*x10+x3*x11+x3*x12+x3*x13+x3*x15+x3*x17+x3*x18+x3*x19+x3*x20+x3*x22+x3*x26+x3*x27+x3*x29+x3*x31+x3*x32+x3*x35+x4*x10+x4*x12+x4*x14+x4*x17+x4*x20+x4*x22+x4*x23+x4*x26+x4*x27+x4*x29+x4*x31+x4*x34+x4*x35+x5*x8+x5*x9+x5*x10+x5*x11+x5*x13+x5*x14+x5*x15+x5*x16+x5*x19+x5*x21+x5*x22+x5*x25+x5*x28+x5*x30+x5*x31+x5*x32+x5*x33+x5*x34+x5*x35+x6*x8+x6*x11+x6*x15+x6*x16+x6*x17+x6*x18+x6*x19+x6*x20+x6*x21+x6*x22+x6*x23+x6*x25+x6*x26+x6*x28+x6*x30+x6*x31+x6*x32+x6*x33+x7*x14+x7*x15+x7*x16+x7*x18+x7*x20+x7*x22+x7*x23+x7*x24+x7*x25+x7*x26+x7*x30+x7*x33+x8*x9+x8*x10+x8*x11+x8*x13+x8*x14+x8*x15+x8*x18+x8*x20+x8*x24+x8*x27+x8*x28+x8*x29+x8*x33+x8*x34+x8*x35+x9*x10+x9*x12+x9*x15+x9*
 x17+x9*x18+x9*x19+x9*x20+x9*x21+x9*x22+x9*x23+x9*x28+x9*x29+x9*x30+x9*x34+x9*x35+x10*x12+x10*x14+x10*x18+x10*x23+x10*x28+x10*x34+x10*x35+x11*x13+x11*x15+x11*x16+x11*x17+x11*x20+x11*x22+x11*x24+x11*x26+x11*x29+x11*x31+x11*x34+x12*x15+x12*x16+x12*x17+x12*x18+x12*x19+x12*x21+x12*x22+x12*x23+x12*x24+x12*x28+x12*x32+x12*x33+x13*x16+x13*x17+x13*x19+x13*x23+x13*x26+x13*x27+x13*x31+x13*x32+x13*x35+x14*x15+x14*x16+x14*x17+x14*x20+x14*x21+x14*x22+x14*x23+x14*x25+x14*x26+x14*x29+x14*x30+x14*x31+x14*x32+x14*x33+x15*x18+x15*x19+x15*x21+x15*x22+x15*x25+x15*x26+x15*x30+x15*x31+x15*x32+x15*x35+x16*x17+x16*x19+x16*x20+x16*x21+x16*x24+x16*x25+x16*x27+x16*x28+x16*x29+x16*x35+x17*x19+x17*x20+x17*x22+x17*x23+x17*x27+x17*x29+x17*x30+x17*x31+x17*x34+x18*x19+x18*x20+x18*x21+x18*x26+x18*x27+x18*x28+x18*x29+x18*x32+x18*x34+x19*x23+x19*x24+x19*x25+x19*x26+x19*x27+x19*x28+x19*x30+x19*x31+x19*x32+x19*x33+x19*x34+x20*x22+x20*x23+x20*x24+x20*x27+x20*x28+x20*x35+x21*x23+x21*x29+x21*x30+x21*x33+x21*x35+x22*
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P35:=x1+x3+x6+x10+x11+x12+x13+x14+x17+x21+x23+x27+x29+x31+x33+x34+x35+x1*x3+x1*x4+x1*x7+x1*x9+x1*x15+x1*x19+x1*x24+x1*x25+x1*x26+x1*x33+x1*x34+x2*x11+x2*x12+x2*x13+x2*x15+x2*x17+x2*x19+x2*x22+x2*x23+x2*x24+x2*x25+x2*x26+x2*x27+x2*x30+x2*x32+x2*x33+x3*x7+x3*x10+x3*x11+x3*x13+x3*x14+x3*x15+x3*x16+x3*x20+x3*x26+x3*x28+x3*x29+x3*x30+x4*x5+x4*x6+x4*x7+x4*x8+x4*x9+x4*x11+x4*x13+x4*x20+x4*x21+x4*x22+x4*x23+x4*x26+x4*x28+x4*x31+x4*x34+x4*x35+x5*x7+x5*x8+x5*x10+x5*x11+x5*x14+x5*x16+x5*x17+x5*x21+x5*x23+x5*x24+x5*x25+x5*x26+x5*x31+x5*x32+x5*x33+x5*x34+x6*x7+x6*x12+x6*x13+x6*x17+x6*x19+x6*x21+x6*x22+x6*x23+x6*x24+x6*x25+x6*x28+x6*x34+x6*x35+x7*x8+x7*x11+x7*x17+x7*x18+x7*x20+x7*x22+x7*x23+x7*x24+x7*x26+x7*x28+x7*x29+x7*x30+x7*x31+x7*x34+x8*x10+x8*x13+x8*x17+x8*x18+x8*x19+x8*x20+x8*x21+x8*x22+x8*x25+x8*x26+x8*x27+x8*x28+x8*x29+x8*x34+x9*x10+x9*x12+x9*x14+x9*x15+x9*x17+x9*x18+x9*x20+x9*x21+x9*x22+x9*x25+x9*x28+x9*x29+x9*x31+x9*x35+x10*x12+x10*x14+x10*x16+x10*x17+x10*x19+x10*x20+x10*x21+x10*x25+x10*x26+x10*x27+x10*x28+x10*x29+x10*x30+x10*x32+x10*x34+x11*x15+x11*x17+x11*x20+x11*x22+x11*x26+x11*x28+x11*x29+x11*x30+x11*x32+x11*x33+x11*x34+x11*x35+x12*x14+x12*x15+x12*x17+x12*x18+x12*x21+x12*x23+x12*x24+x12*x27+x12*x28+x12*x29+x12*x31+x12*x34+x13*x14+x13*x18+x13*x19+x13*x27+x13*x32+x13*x33+x13*x35+x14*x16+x14*x20+x14*x21+x14*x22+x14*x23+x14*x24+x14*x26+x14*x27+x14*x31+x14*x34+x14*x35+x15*x18+x15*x19+x15*x21+x15*x22+x15*x23+x15*x24+x15*x26+x15*x30+x15*x32+x15*x33+x15*x34+x15*x35+x16*x17+x16*x19+x16*x20+x16*x21+x16*x22+x16*x26+x16*x27+x16*x30+x16*x34+x17*x18+x17*x19+x17*x20+x17*x21+x17*x23+x17*x24+x17*x26+x17*x27+x17*x28+x17*x30+x17*x33+x17*x34+x17*x35+x18*x19+x18*x22+x18*x23+x18*x27+x18*x28+x18*x30+x18*x31+x18*x35+x19*x20+x19*x21+x19*x24+x19*x30+x19*x31+x19*x34+x19*x35+x20*x22+x20*x23+x20*x24+x20*x25+x20*x26+x20*x28+x20*x35+x21*x22+x21*x24+x21*x30+x21*x32+x21*x33+x22*x24+x22*x25+x22*x26+x22*x28+x22*x31+x22*x32+x22*x34+x23*x24+x23*x27+x23*x32+x23*x33+x23*x34+x24*x26+
 x24*x27+x24*x28+x24*x29+x24*x30+x24*x31+x24*x32+x25*x26+x25*x27+x25*x28+x25*x29+x25*x30+x25*x32+x25*x33+x25*x34+x25*x35+x26*x27+x26*x31+x26*x32+x26*x35+x27*x28+x27*x29+x27*x31+x27*x34+x28*x29+x28*x30+x28*x31+x28*x33+x28*x35+x29*x34+x29*x35+x30*x34+x30*x35+x31*x32+x31*x34+x33*x34+x33*x35;

B := [
F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9,F10,F11,F12,F13,F14,F15,F16,F17,F18,F19,F20,F21,F22,F23,F24,F25,F26,F27,F28,F29,F30,F31,F32,F33,F34,F35,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10,P11,P12,P13,P14,P15,P16,P17,P18,P19,P20,P21,P22,P23,P24,P25,P26,P27,P28,P29,P30,P31,P32,P33,P34,P35];

SetVerbose("Groebner", 1);
time G := GroebnerBasis(B: HFE);
G;

/*
Final output:

Time: 542.880
> G;                       
[
    x31*x35,
    x1 + x31,
    x2 + x31 + 1,
    x3 + x31 + x35 + 1,
    x4 + x31,
    x5 + x35,
    x6 + 1,
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    x8 + x31 + x35 + 1,
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    x11 + x31 + x35 + 1,
    x12 + x35,
    x13 + 1,
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    x18 + x31,
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    x20 + x35 + 1,
    x21 + 1,
    x22 + x31,
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    x24 + x35,
    x25 + x31 + x35,
    x26 + 1,
    x27 + x35,
    x28 + x31 + x35 + 1,
    x29 + x35,
    x30 + x31,
    x32 + x35 + 1,
    x33,
    x34,
    x31^2 + x31,
    x35^2 + x35
]
*/